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新弗雷格主义中的凯撒难题及其求解
来源：985论文网 添加时间：2019-12-16 10:13
摘要：基于抽象原则与类包含原则， 黑尔、莱特等新弗雷格主义者为凯撒难题给出了范畴求解方案。但其对范畴或范畴类的划分一方面排除了不同类对象之间可能具有的同一性， 另一方面不能提供如何将不同对象落入不同范畴的应用标准。为此， 佩德森提出基于类上等价关系的无范畴修正方案。而其对“等价类”的划分、S=标准的合法性以及同一性的统一标准实质上仍依赖对范畴类的预设， 因此面临与黑尔、莱特相同的困境。在这个意义上， 新弗雷格主义者为逻辑主义辩护的预期并未达成。
关键词：凯撒难题； 新弗雷格主义； 范畴； 无范畴；
凯撒难题是弗雷格试图从逻辑推导算术过程中遇到的。该难题表明构成弗雷格的概念外延理论和由该理论推导算术的过程之间不可完美契合。一方面弗雷格纲领秉持概念实在， 另一方面弗雷格对算术的推导要通过“等数”来确立， 而在“等数”关系的确立过程中， “凯撒难题”的解决运用了蕴含“罗素悖论”的概念外延理论， 导致凯撒难题悬而未决。这一难题要求在避开“罗素悖论”的前提下对其求解， 进而实现弗雷格计划。但保留概念的外延理论， 同时又不放弃基本定律V对数的显定义， 显然无法解决凯撒难题。近年来， 以黑尔 （B.Hale） 和莱特 （C.Wright） 为代表的新弗雷格主义者， 在对弗雷格计划恢复过程中， 以语言分析为工具， 试图最大限度地坚持弗雷格的逻辑基础主义。
一、新弗雷格主义中的凯撒难题
凯撒难题是对弗雷格纲领恢复计划中的子问题， 因而新弗雷格主义的最终目标是避开悖论解决凯撒难题， 把算术归约为逻辑。以黑尔和莱特为代表的新弗雷格主义方案从本质上讲是对弗雷格主义两大版块 （概念外延的哲学理论与从外延理论中定义算术概念及推导算术公理的过程） 进行修饰处理。[1]62为了避免由于构建概念外延理论而蕴含罗素悖论， 黑尔和莱特采取基于类概念的抽象原则引入概念， 以实现其系统内部的一致性。但凯撒难题仍以新的形式显现出来。
抽象原则的一般形式如下：
其中Σ是一个由αφ和αk的表达所引入的概念形成算子， ≈是αφ和αk所指实体之间的等价关系。 （AP） 引入算子Σ来扩大语言表达能力， 该式假定了{‘α1’…‘αk'}可以表达语言中特殊相关谓词间的相等关系。 （AP） 的成立暗含了两个相关的约定： （1） 算子可使已知表达 （’αj', ‘αk’） 与未知表达之间建立联系。 （2） 引入等式的真值条件与已知句子 （αj≈αk） 的真值条件相同。 （AP） 说明了引入等式的用法， 从语法上看引入的词就是单称词， 所以按照句法决定理论， （AP） 通过算子成功引入了单称词。
抽象原则的意义不只是引入新的单称词， 更重要的是它提供了一种从已知表达来判断未知表达的方法。如果能确认“αj≈αk”的真值， 根据约定一致的真值条件就能确定形如‘∑αj=∑αk’的陈述语句的真值。如果可以证实一个句子的真值， 根据 （SP2） 和 （SP3） （见注释 （1） ） , 就可以确定语言所指称的对象和世界相对应。由此抽象原则保证了从语言到真实世界的可靠性， 把我们没有认知的事物转换成已经熟悉的事物。
应用抽象原则来说明数字单称词的概念时， 该原则就是着名的休谟原则：
其中“#F”表示F的基数；“#G”表示G的基数；“≈1-1”表示一一对应。借助休谟原则， 可以给出数字单称词的一种隐定义。把休谟原则加入二阶逻辑， 就可得到皮亚诺算术的所有公理。因此， 新弗雷格主义者通过对抽象原则进行约定可以从具体知识进入抽象知识， 从逻辑知识进入数学知识， 弗雷格把算术归约为逻辑的初衷由此达成。
借助抽象原则可以识别对于已经归属于某个概念下的对象之间所具有的同一性关系， 但仍无法说明某个或某些对象依据什么原则归属于某个概念之下。对于纯算术语言中的对象， 如1, 2, 3等， 它们的同一性可以直接由休谟原则得到鉴定， 从而引入其相关的概念。但这些数是什么对象通过休谟原则是找不到答案的， “凯撒是否是一个数”这一难题再次出现。
二、黑尔-莱特范畴求解与修正
事实上， 正是由于 （HP） 仅提供了区别一些对象是否属于一个概念的同一性标准， 而没有提供说明分属不同概念的对象是否同一的应用性标准， 弗雷格拒绝使用 （HP） 作为数的定义。通过 （HP） 引入数， 同时也引入了可数这个类概念， “凯撒难题”就体现为通过 （HP） 无法说明凯撒是否属于可数这一类概念， 因而无法判断“凯撒=3”这类命题的真值。
1. 黑尔-莱特的范畴求解
黑尔与莱特承认抽象原则不能为引入的概念提供直接的应用标准， 但坚信基于类概念与同一性标准凯撒问题仍可得到解决。通过对范畴的进一步划分， 说明凯撒所属的类概念不可能归属于一个可数的类。他们指出， “所有对象都属于某个特定的一般范畴的最小范围内， 每一个最小范围根据其自身又划分为一般的纯类；其中所有对象具有它们所属特定纯类给定的一个根本性特质。在一个范畴中， 对象之间的所有区别通过依据它所特有的同一性标准都是可说明的。而跨范畴的情况下， 对象只是由于它们分属不同的范畴而存在区别。当然正是由于这些原因， 我们已经开始尝试认为凯撒不是数这一点显而易见。”[3]390-391
黑尔-莱特求解方案的依据是类包含原则 （Sortal Inclusion Principle） .
类包含原则 （SIP） 所描述的是一类对象F包含在另一类对象G之中， 当且仅当关于G的同一性陈述与断定满足G和F相对应的同一性陈述相同。[2]129
根据 （SIP） 可以区分凯撒和数， 因为没有一个对象可以落入类概念F之下且与落入类概念G之下的对象同一， 除非对于任意同一性陈述“a=b”和“A=B”具有相同的真值条件， 其中a, b能够指称F中的对象， A, B可以指称G中的对象。[4]215简言之， 其基本思想就是以类概念为核心进而对范畴进行划分。类概念是一个对象的必然特征。所有对象都归属于类概念之下， 而每一个类概念都具有一个唯一的同一性标准。范畴是类的最大扩张类， 对于每个范畴来说， 同一性标准是依赖于该范畴的。所有范畴都满足 （I） 对于某给定范畴F, 其所有子类都共享同一性标准； （II） 对任意对象x, 如果x不是F, 则x落入的任意类G与F的同一性标准不同。对象根据归属共享同一性标准的类而被组织在一个范畴中。不同范畴中的对象是不同的， 即这些对象归属的任意类不共享同一性标准。因此， 任意两个范畴F与G, 要么是同延的， 要么不具有共同的对象。由于凯撒分属不同的范畴， 它不可能是一个数， 凯撒难题得解。
2. 黑尔-莱特范畴求解的问题
黑尔-莱特的范畴求解方案很快遭到了质疑。一方面以达米特 （M.Dummett） 为代表的学者认为这种解决方案太强， 因为它排除了不同类对象之间可能的识别标准。[5]161-2例如， 数学家有时会把整数和自然数看成是复数。而由于不同的同一性标准对应着不同种类的数， 根据 （SIP） 类概念整数和自然数不能应用于复数之上， 那么就没有自然数和整数是复数。对此， 麦克布莱德 （F.Mac Bride） 认为新弗雷格主义者可以选择拒绝接受单称词在句意上的指称作用， 把类之间的关系模型化， 数学家就不必建构自然数和整数成为复数， 只需把复数视为整数和自然数结构的模型。[2]129
另一方面范畴求解方案又太弱， 因为它实际上并没有提供一种应用性标准。[2]130面对这方面质疑， 黑尔与莱特做出了妥协， 他们承认通过 （HP） 引入的类概念的确不可应用于凯撒， 但这并不代表凯撒不能应用于其他类的抽象对象。而由此引发的进一步质疑是， 假设存在一个和自然数序列同构的序列， 二者具有相同的同一性标准， 在自然数序列中引入2, 在与自然数同构的序列中引入凯撒， 由于二者同构且具有相同的同一性标准， 因此2仍有可能等同于凯撒。黑尔与莱特的 （HP） 不能提供一种区别自然数同构序列的应用性标准， 只能找到一个更细致的描述方法来说明其可应用性。这个缺陷在奎因 （W.V.Quine） 看来是不可避免的， 因为单称词对事物的描述本身就存在缺陷， 它不可能极尽所能。通过语言的指称必然存在这样的缺陷。[6]123-127
黑尔-莱特的范畴求解没有真正阐明引入的概念与凯撒的同一性关系。在类包含原则引入类概念过程中表意并不明确， 如果它仅是指“某个类”, 那就会有不同的“类”具有相同的指称；如果它是指“指称”, 那么 （SIP） 就可以引入单称词。[2]131除非两个类在其同一性陈述中包含共有的对象， 否则这两个类不可交叠， 显然 （SIP） 不能合理解释这种情况。由于同一性陈述可以处理成不同的表达， 这就很难排除同一种对象具有不同的表达。如果凯撒处于两个类的交叠处， 不同的陈述中就可能包含对象具有相同的指称， 那么凯撒就可能是2.具有生物特性的对象和数学对象乃至形而上学对象是否会存在一个“对象”为它们所共有， 这也是黑尔与莱特无法说明的。
3. 黑尔-莱特的范畴求解方案修正
针对这些质疑， 赫克 （R.Heck） 提出了修正方案。他认为解决凯撒难题， 必须面对两个挑战：第一在休谟原则所把握的关于数词的理解基础上， 说明人们是如何理解关于跨类同一 （Trans-sortal I-dentification） 的问题， 并且说明人们如何知道数的类不同于人的类；第二， 在同样的基础上， 说明人们如何理解“x是概念G的数”这个谓词。一方面， 凯撒难题要求我们给出数概念与人概念的区分标准；而另一方面， 弗雷格定理又要求我们把作为对象的数与其他对象看作同一类对象。[7]65
基于这一认识， 他假定存在包含两种类 （twosorted） 的语言， 该语言包括“基本”个体变量；数字个体变量；基本谓词变量；数字谓词变量以及用角标明确标明的不同逻辑类型的关系变量。该语言包含两种同一性谓词：一种是关于基础变量的， 其中两个变元的位置由基本项填充；另一种是关于数字变量的， 其中两个变元的位置由数字项填充。混合型同一性陈述在该语言中不是合式的。如果不讨论混合同一性陈述的真值， 赫克的方案就可以避免凯撒难题。[3]335-396
但在黑尔和莱特看来赫克的修正方案并不可行。赫克对两种类语言的假定实际上取决于混合同一性陈述的真值， 也就是说对基本与数的类别区分已经预设了对混合同一性陈述的真假判定， 并将其作为逻辑起点。而黑尔和莱特认为如何对混合同一性陈述给出判定或者如何说明数与凯撒是否同一才是新弗雷格主义者真正要回答的， 因此跨类 （范畴） 的同一性探讨仍是必要的。
三、凯撒难题的无范畴求解
基于对范畴概念的界定不确定性以及归属范畴的类表述不明确 （例如集合和数是否属于不同的范畴， 不同种类的数是否属于不同的范畴） 等困难， 佩德森 （N.J.Pedersen） 试图只依据类上的等价关系降低对“范畴”的依赖， 从而提出无范畴的求解方案。
1. 重解黑尔-莱特求解模式
根据类包含原则的应用标准可知每一个对象都满足一个类概念， 假定对于每一个本体对象都落在一个类概念之下遵从了以下的原则[8]506:
（P1） 每一个类概念都拥有一个独立的同一性标准。
为确保对于不同类概念共享同一性标准， 黑尔和莱特接受以下定义：
（D1） 对于任意两个类X和Y, 当且仅当它们各自的同一性标准一致时S （X, Y）
（SIP） 可重解为以下定义：
（D2） 当且仅当对于任意属于X的对象x同时属于类Y且S （X, Y） 时， 类X包含于另一个类Y.
如果一个类概念X包含在类Y中， 则X在类Y之下。范畴是类的最大扩张：
（D3） 当且仅当满足以下条件： （i） 所有的X下的类共享同一性标准； （ii） 对于任意对象x, 如果不属于X则类Y下的对象与X不共享同一性标准， 则类X的外延是范畴。
为了保持与黑尔-莱特最初的描述一致， 保留 （D2） 第一条件并给出以下原则：
（P2） 对于任意两个类X和Y, 如果X和Y拥有一个共同对象x, 那么存在一个类Z被X和Y所包含。
（P3） 对于给定具有共同同一性标准的类X1, X2, …， Xk, 存在一个与这些类的并的同延类。
如果 （P3） 能确保范畴存在， 则依据上述定义和原则可得出以下结论：
（R1） 任意两个范畴X和Y, 或者是同延的， 或者没用共同的对象。
如果 （R1） 是合理的， 那么两个不同的范畴就不同延， 那么：
（R2） 如果两个类X和Y包含于两个不同的范畴C和D, 那么X和Y没用共同的对象。
由此可知， 类概念数和人拥有不同的同一性标准， 所以数和人不可能属于同一个范畴。不同范畴中的对象之间不会拥有共同的同一性标准， 这依据以下原则：
（U） 一个对象只对应于一个范畴。
接受 （U） 是为了鉴别跨范畴对象间的关系。对于一个同一性陈述a=b （这里的a, b分别指示不同范畴的对象） , 由于没有可诉诸的同一性标准因而无法对上述陈述做出真假判断。为解决这类问题， 佩德森在重解框架中进一步给出了范畴类 （categorical sortal） 的定义：
（D3*a） 一个类X在S下的等价类是类X在该关系下构成的类。
（D3*b） 当且仅当对于任意的x, x是X, 只有当x落在X在S下的等价类的一个类中， 类X为一个范畴类。
（D3*a） 中S表示类概念间共享同一性的等价关系。 （D3*b） 表明， 只有当X与其自身在S下的等价类同延， X是一个范畴类。 （P3） 和 （D3*b） 确保了由S下等价类构成的范畴类的存在。 （D3*a） 和 （D3*b） 的结合可以阐明S下的等价类。
2. 佩德森的无范畴求解方案
在上述结果的基础上， 佩德森进一步强调对“范畴”以及“范畴类”的预设并不必要， 认为可以完全通过只接受类上的等价关系来求解凯撒难题， 最后实现算术向逻辑的化归。其无范畴的求解思路是采纳 （D1） , （D2） , （D3*a） , （P1） 和 （P2） , 舍弃 （D3*b） 和 （P3） .[8]509
“凯撒难题”求解的关键在于S是类概念间共享同一性的等价关系， 一旦这种关系得到确立， 类就根据该关系下的等价类得到划分。对于S下任意的两个等价类， 它们或者同一或者不相交。由于每个类具有的同一性标准是独有的， 因此不可能存在具有不同同一性标准的类处于S下的等价类中。黑尔-莱特的范畴求解模式中 （R2） 使得类概念数和人可以分属不同的同一性标准， 因此这些类就包含在不同的范畴中。佩德森认为消除对范畴的预设可以达到同样的效果， 于是给出以下相应结论：
（R2*） 如果类X和Y在S下的两个不同等价类中， 那么X和Y没有共同的对象。
在黑尔和莱特看来， 类概念数和人具有不同的同一性标准。关于某种关系是否能成为同一性， 这取决于依据该关系相关的同一性陈述是否能得到断定。而在跨范畴同一性的情况下， 没有也不可能存在这样的标准。在佩德森的无范畴框架下， 根据 （D3*a） , 数和人处于S关系下的不同等价类中， 而针对跨范畴同一性的问题可以借助 （U*） 得到说明。
（U*） 没有对象可以落入S下两个不同的等价类中。
可以把 （U*） 作为黑尔-莱特范畴求解模式重解中 （U） 的副本， （U*） 确保了抽象原则引入单称词的确定性， 由此凯撒难题得到解决。
四、无范畴求解的问题
佩德森的无范畴求解消除了对范畴的依赖， 在概念预设上更为节俭， 使新弗雷格主义的本体论结构更加清晰。但除了将范畴的划分转换为类上等价关系的划分之外， 无范畴求解方案同样无法给出凯撒与数是否同一的应用性标准， 因而与黑尔-莱特范畴方案面临相同的质疑， 其预期目标并未达成。
1.“等价类”对类的依赖性
针对黑尔-莱特范畴求解引发的质疑， 佩德森通过对范畴概念的刻画提出用“类上的等价关系”替代“范畴”, 以削弱新弗雷格主义本体论框架对范畴的依赖。需要指出， 对“范畴”的消解并不能消除对类概念的假定， 无范畴方案正是通过对任意落入类X的x进行限制致使落入X的任意x的同延都被X所包含从而保证等价类的存在。即使佩德森的方案实现了从范畴到类的转换， 类概念应用的合理性与对“范畴”的预设也一样令人质疑。无论求解凯撒难题的范畴策略还是无范畴策略， 都依赖于对范畴或等价类的划分， 从本质上讲就是对类的划分， 而如何对其划分才是求解凯撒问题的关键。
2. S标准的合法性
佩德森用基于类概念的等价关系替代“范畴”的作用， 必须配合其所坚持的S才能完全发挥“范畴”的功能。S用来表示类概念间共享同一性的等价关系， 不同的类通过S得到划分。只有在S下各种不同的类才能组成一个类似范畴的整体， 在这个等价类下， 假设同一性标准是独立的， 不同对象就分属不同的类。这里S起到了一个类似抽象原则的作用， 但抽象原则的合法性本身就存在很大争议。抽象原则作为一种语言学约定不能确保非语言的存在性， 即使借助抽象法可以成功引入新对象， 也不能因此认为抽象原则是合法的。如果通过抽象原则确实引入了数字单称词并由此推出了数学对象的存在， 也只是因为之前已经预设了数的存在， 这显然是一种循环论证。S也面临类似问题， 比如在佩德森的无范畴框架中， 跨范畴的同一性问题同样是不能讨论的， 我们能做的只是在将对象落入不同等价类之后依据对等价类的划分对跨等价类的同一性陈述做出真假判断， 从而合理地引入相关对象。但凯撒难题的求解真正需要的恰恰是给出何以一个对象不能落入两个不同等价类的说明。此外， 这里所能承认的断言是条件性的， 即如果数存在则休谟原则描述了其存在。除非新弗雷格主义者能够为数存在提供某种先在、独立的确证， 否则就不能证实休谟原则以及S的合法性。
3. 统一的同一性标准
从本质上讲， S标准是否合法取决于同一性标准是相对于某个范畴或某等价类所特有的， 还是存在一种统一的同一性标准为所有范畴或类共有。对于黑尔-莱特的范畴求解和佩德森的无范畴求解而言， 同一性标准必须是某范畴或等价类所独有的， 否则会出现凯撒与数落入同一范畴或等价类中导致二者同一的问题。为了规避这一问题， 佩德森承认统一同一性标准的必要性， 主张把莱布尼兹定律作为统一标准， 进一步定义子共享同一性标准 （Sub-sharing a criterion of identity） 的等价关系sub-S, 用它替换原来的S得到之前的所有相应结果。[9]149-153也就是说， 尽管存在一种统一的同一性标准， 包含所有类在内S下的相应等价类根据对S进行分层， 把对象归入不同的子范畴中将数与人隔绝开， 凯撒难题同样得解。如此一来， 他必须承认存在包含所有对象的范畴， 从而接受子范畴的存在。这无疑使他回到了黑尔-莱特新弗雷格主义的原点。
结语
事实上， 凯撒难题是一个涉及认识论、形而上学以及语义学等的问题， 仅从一方面对其求解必然是片面的。新弗雷格主义对语言分析的强调， 的确为我们提供了有益的方法论借鉴， 开拓了我们的研究视域。但从凯撒难题的求解也折射出分析哲学研究的局限性， 促使我们辩证地看待逻辑的作用。回到新弗雷格主义将算术化归为逻辑的根本立场， 我们也需谨慎对待。伴随当代数学各分支的纵深发展， 算术、分析、几何、代数等学科分支之间的融合与交叉愈发明显， 为整个数学构建合理的基础与统一的需求也愈发强烈。将数学化归为逻辑的可行性与必要性应交由数学实践来评判。当前以对象和函子为基本概念的范畴论作为一种数学基础的现实选择， 已升华为一种数学结构主义的重要进路。它无疑有助于解决或消解数学哲学中的传统难题， 对揭示数学的本体论、认识论以及语义学等问题， 具有广泛而重要的应用空间。但应明确的是， 数学中的范畴论与新弗雷格主义披着“范畴”外衣
参考文献
[1]邢滔滔。从弗雷格到新弗雷格[J].科学文化评论， 2008, 5 （6） :62-73.
[2]Mac Bride, FSpeaking with Shadows:A study of Neo-Logicism[J].British Society for the Philosophy of Science, 2003, 54 （1） :103-163.
[3]Hale, B.and Wright CTo Bury Caesar…in Hale and Wright[M].Oxford:Oxford University Press, 2001.
[4]Schirn, MFrege's Logicism and the Neo-Fregean Project[J].Axiomathes, 2014, （24） :207-243.
[5]Dummett, MFrege:Philosophy of Mathematics[M].London:Duckworth, 1991.
[6]Wright CFrege's Conception of Numbers as Objects[M].Aberdeen:Aberdeen University Press, 1983.
[7]刘靖贤。概况公理与新弗雷格主义[D].北京：北京大学， 2013.
[8]Pedersen, N.JConsiderations on Neo-Fregean Ontology in Proceedings of GAP.5[J].Bielefeld, 2003, （9） :504-511.
[9]Pedersen, NJSolving the Caesar Problem Without Categorical Sortals[J].Erkenn, 2009, 71:141-155.
[10]弗雷格。算术基础[M].王路， 译。北京：商务印书馆， 2001.
[11]Hale, B and C.Wright.The Reason's Proper Study[M].Oxford:Claredon Press, 2001.
注释
（1） （1） （SP1） 句法决定性 （Syntactic Decisiveness） :如果一个表达可以阐明对一个单称词的句法特征， 那么它也就决定了该表达具有一个单称词的语义功能。 （SP2） 指称最简性 （Referential Mininmalism） :如果一个指称表达出现在一个真的原子句中， 那么这一事实决定了世界上存在一个条目， 它与表明该表达的那个指称相对应。 （SP3） 语言优先性 （Linguistic Priority） :语言范畴优先于本体论的范畴；一个条目属于对象范畴， 只有当一个单称词指称它时才可能。参见参考文献[2].
（1） （1） S=表示类概念间共享同一性的等价关系。
（1） （1） 莱布尼兹定律：当且仅当任意两个对象共享所有性质， 它们是同一的。
关键词：凯撒难题； 新弗雷格主义； 范畴； 无范畴；
凯撒难题是弗雷格试图从逻辑推导算术过程中遇到的。该难题表明构成弗雷格的概念外延理论和由该理论推导算术的过程之间不可完美契合。一方面弗雷格纲领秉持概念实在， 另一方面弗雷格对算术的推导要通过“等数”来确立， 而在“等数”关系的确立过程中， “凯撒难题”的解决运用了蕴含“罗素悖论”的概念外延理论， 导致凯撒难题悬而未决。这一难题要求在避开“罗素悖论”的前提下对其求解， 进而实现弗雷格计划。但保留概念的外延理论， 同时又不放弃基本定律V对数的显定义， 显然无法解决凯撒难题。近年来， 以黑尔 （B.Hale） 和莱特 （C.Wright） 为代表的新弗雷格主义者， 在对弗雷格计划恢复过程中， 以语言分析为工具， 试图最大限度地坚持弗雷格的逻辑基础主义。
一、新弗雷格主义中的凯撒难题
凯撒难题是对弗雷格纲领恢复计划中的子问题， 因而新弗雷格主义的最终目标是避开悖论解决凯撒难题， 把算术归约为逻辑。以黑尔和莱特为代表的新弗雷格主义方案从本质上讲是对弗雷格主义两大版块 （概念外延的哲学理论与从外延理论中定义算术概念及推导算术公理的过程） 进行修饰处理。[1]62为了避免由于构建概念外延理论而蕴含罗素悖论， 黑尔和莱特采取基于类概念的抽象原则引入概念， 以实现其系统内部的一致性。但凯撒难题仍以新的形式显现出来。
抽象原则的一般形式如下：
其中Σ是一个由αφ和αk的表达所引入的概念形成算子， ≈是αφ和αk所指实体之间的等价关系。 （AP） 引入算子Σ来扩大语言表达能力， 该式假定了{‘α1’…‘αk'}可以表达语言中特殊相关谓词间的相等关系。 （AP） 的成立暗含了两个相关的约定： （1） 算子可使已知表达 （’αj', ‘αk’） 与未知表达之间建立联系。 （2） 引入等式的真值条件与已知句子 （αj≈αk） 的真值条件相同。 （AP） 说明了引入等式的用法， 从语法上看引入的词就是单称词， 所以按照句法决定理论， （AP） 通过算子成功引入了单称词。
抽象原则的意义不只是引入新的单称词， 更重要的是它提供了一种从已知表达来判断未知表达的方法。如果能确认“αj≈αk”的真值， 根据约定一致的真值条件就能确定形如‘∑αj=∑αk’的陈述语句的真值。如果可以证实一个句子的真值， 根据 （SP2） 和 （SP3） （见注释 （1） ） , 就可以确定语言所指称的对象和世界相对应。由此抽象原则保证了从语言到真实世界的可靠性， 把我们没有认知的事物转换成已经熟悉的事物。
应用抽象原则来说明数字单称词的概念时， 该原则就是着名的休谟原则：
其中“#F”表示F的基数；“#G”表示G的基数；“≈1-1”表示一一对应。借助休谟原则， 可以给出数字单称词的一种隐定义。把休谟原则加入二阶逻辑， 就可得到皮亚诺算术的所有公理。因此， 新弗雷格主义者通过对抽象原则进行约定可以从具体知识进入抽象知识， 从逻辑知识进入数学知识， 弗雷格把算术归约为逻辑的初衷由此达成。
借助抽象原则可以识别对于已经归属于某个概念下的对象之间所具有的同一性关系， 但仍无法说明某个或某些对象依据什么原则归属于某个概念之下。对于纯算术语言中的对象， 如1, 2, 3等， 它们的同一性可以直接由休谟原则得到鉴定， 从而引入其相关的概念。但这些数是什么对象通过休谟原则是找不到答案的， “凯撒是否是一个数”这一难题再次出现。
二、黑尔-莱特范畴求解与修正
事实上， 正是由于 （HP） 仅提供了区别一些对象是否属于一个概念的同一性标准， 而没有提供说明分属不同概念的对象是否同一的应用性标准， 弗雷格拒绝使用 （HP） 作为数的定义。通过 （HP） 引入数， 同时也引入了可数这个类概念， “凯撒难题”就体现为通过 （HP） 无法说明凯撒是否属于可数这一类概念， 因而无法判断“凯撒=3”这类命题的真值。
1. 黑尔-莱特的范畴求解
黑尔与莱特承认抽象原则不能为引入的概念提供直接的应用标准， 但坚信基于类概念与同一性标准凯撒问题仍可得到解决。通过对范畴的进一步划分， 说明凯撒所属的类概念不可能归属于一个可数的类。他们指出， “所有对象都属于某个特定的一般范畴的最小范围内， 每一个最小范围根据其自身又划分为一般的纯类；其中所有对象具有它们所属特定纯类给定的一个根本性特质。在一个范畴中， 对象之间的所有区别通过依据它所特有的同一性标准都是可说明的。而跨范畴的情况下， 对象只是由于它们分属不同的范畴而存在区别。当然正是由于这些原因， 我们已经开始尝试认为凯撒不是数这一点显而易见。”[3]390-391
黑尔-莱特求解方案的依据是类包含原则 （Sortal Inclusion Principle） .
类包含原则 （SIP） 所描述的是一类对象F包含在另一类对象G之中， 当且仅当关于G的同一性陈述与断定满足G和F相对应的同一性陈述相同。[2]129
根据 （SIP） 可以区分凯撒和数， 因为没有一个对象可以落入类概念F之下且与落入类概念G之下的对象同一， 除非对于任意同一性陈述“a=b”和“A=B”具有相同的真值条件， 其中a, b能够指称F中的对象， A, B可以指称G中的对象。[4]215简言之， 其基本思想就是以类概念为核心进而对范畴进行划分。类概念是一个对象的必然特征。所有对象都归属于类概念之下， 而每一个类概念都具有一个唯一的同一性标准。范畴是类的最大扩张类， 对于每个范畴来说， 同一性标准是依赖于该范畴的。所有范畴都满足 （I） 对于某给定范畴F, 其所有子类都共享同一性标准； （II） 对任意对象x, 如果x不是F, 则x落入的任意类G与F的同一性标准不同。对象根据归属共享同一性标准的类而被组织在一个范畴中。不同范畴中的对象是不同的， 即这些对象归属的任意类不共享同一性标准。因此， 任意两个范畴F与G, 要么是同延的， 要么不具有共同的对象。由于凯撒分属不同的范畴， 它不可能是一个数， 凯撒难题得解。
2. 黑尔-莱特范畴求解的问题
黑尔-莱特的范畴求解方案很快遭到了质疑。一方面以达米特 （M.Dummett） 为代表的学者认为这种解决方案太强， 因为它排除了不同类对象之间可能的识别标准。[5]161-2例如， 数学家有时会把整数和自然数看成是复数。而由于不同的同一性标准对应着不同种类的数， 根据 （SIP） 类概念整数和自然数不能应用于复数之上， 那么就没有自然数和整数是复数。对此， 麦克布莱德 （F.Mac Bride） 认为新弗雷格主义者可以选择拒绝接受单称词在句意上的指称作用， 把类之间的关系模型化， 数学家就不必建构自然数和整数成为复数， 只需把复数视为整数和自然数结构的模型。[2]129
另一方面范畴求解方案又太弱， 因为它实际上并没有提供一种应用性标准。[2]130面对这方面质疑， 黑尔与莱特做出了妥协， 他们承认通过 （HP） 引入的类概念的确不可应用于凯撒， 但这并不代表凯撒不能应用于其他类的抽象对象。而由此引发的进一步质疑是， 假设存在一个和自然数序列同构的序列， 二者具有相同的同一性标准， 在自然数序列中引入2, 在与自然数同构的序列中引入凯撒， 由于二者同构且具有相同的同一性标准， 因此2仍有可能等同于凯撒。黑尔与莱特的 （HP） 不能提供一种区别自然数同构序列的应用性标准， 只能找到一个更细致的描述方法来说明其可应用性。这个缺陷在奎因 （W.V.Quine） 看来是不可避免的， 因为单称词对事物的描述本身就存在缺陷， 它不可能极尽所能。通过语言的指称必然存在这样的缺陷。[6]123-127
黑尔-莱特的范畴求解没有真正阐明引入的概念与凯撒的同一性关系。在类包含原则引入类概念过程中表意并不明确， 如果它仅是指“某个类”, 那就会有不同的“类”具有相同的指称；如果它是指“指称”, 那么 （SIP） 就可以引入单称词。[2]131除非两个类在其同一性陈述中包含共有的对象， 否则这两个类不可交叠， 显然 （SIP） 不能合理解释这种情况。由于同一性陈述可以处理成不同的表达， 这就很难排除同一种对象具有不同的表达。如果凯撒处于两个类的交叠处， 不同的陈述中就可能包含对象具有相同的指称， 那么凯撒就可能是2.具有生物特性的对象和数学对象乃至形而上学对象是否会存在一个“对象”为它们所共有， 这也是黑尔与莱特无法说明的。
3. 黑尔-莱特的范畴求解方案修正
针对这些质疑， 赫克 （R.Heck） 提出了修正方案。他认为解决凯撒难题， 必须面对两个挑战：第一在休谟原则所把握的关于数词的理解基础上， 说明人们是如何理解关于跨类同一 （Trans-sortal I-dentification） 的问题， 并且说明人们如何知道数的类不同于人的类；第二， 在同样的基础上， 说明人们如何理解“x是概念G的数”这个谓词。一方面， 凯撒难题要求我们给出数概念与人概念的区分标准；而另一方面， 弗雷格定理又要求我们把作为对象的数与其他对象看作同一类对象。[7]65
基于这一认识， 他假定存在包含两种类 （twosorted） 的语言， 该语言包括“基本”个体变量；数字个体变量；基本谓词变量；数字谓词变量以及用角标明确标明的不同逻辑类型的关系变量。该语言包含两种同一性谓词：一种是关于基础变量的， 其中两个变元的位置由基本项填充；另一种是关于数字变量的， 其中两个变元的位置由数字项填充。混合型同一性陈述在该语言中不是合式的。如果不讨论混合同一性陈述的真值， 赫克的方案就可以避免凯撒难题。[3]335-396
但在黑尔和莱特看来赫克的修正方案并不可行。赫克对两种类语言的假定实际上取决于混合同一性陈述的真值， 也就是说对基本与数的类别区分已经预设了对混合同一性陈述的真假判定， 并将其作为逻辑起点。而黑尔和莱特认为如何对混合同一性陈述给出判定或者如何说明数与凯撒是否同一才是新弗雷格主义者真正要回答的， 因此跨类 （范畴） 的同一性探讨仍是必要的。
三、凯撒难题的无范畴求解
基于对范畴概念的界定不确定性以及归属范畴的类表述不明确 （例如集合和数是否属于不同的范畴， 不同种类的数是否属于不同的范畴） 等困难， 佩德森 （N.J.Pedersen） 试图只依据类上的等价关系降低对“范畴”的依赖， 从而提出无范畴的求解方案。
1. 重解黑尔-莱特求解模式
根据类包含原则的应用标准可知每一个对象都满足一个类概念， 假定对于每一个本体对象都落在一个类概念之下遵从了以下的原则[8]506:
（P1） 每一个类概念都拥有一个独立的同一性标准。
为确保对于不同类概念共享同一性标准， 黑尔和莱特接受以下定义：
（D1） 对于任意两个类X和Y, 当且仅当它们各自的同一性标准一致时S （X, Y）
（SIP） 可重解为以下定义：
（D2） 当且仅当对于任意属于X的对象x同时属于类Y且S （X, Y） 时， 类X包含于另一个类Y.
如果一个类概念X包含在类Y中， 则X在类Y之下。范畴是类的最大扩张：
（D3） 当且仅当满足以下条件： （i） 所有的X下的类共享同一性标准； （ii） 对于任意对象x, 如果不属于X则类Y下的对象与X不共享同一性标准， 则类X的外延是范畴。
为了保持与黑尔-莱特最初的描述一致， 保留 （D2） 第一条件并给出以下原则：
（P2） 对于任意两个类X和Y, 如果X和Y拥有一个共同对象x, 那么存在一个类Z被X和Y所包含。
（P3） 对于给定具有共同同一性标准的类X1, X2, …， Xk, 存在一个与这些类的并的同延类。
如果 （P3） 能确保范畴存在， 则依据上述定义和原则可得出以下结论：
（R1） 任意两个范畴X和Y, 或者是同延的， 或者没用共同的对象。
如果 （R1） 是合理的， 那么两个不同的范畴就不同延， 那么：
（R2） 如果两个类X和Y包含于两个不同的范畴C和D, 那么X和Y没用共同的对象。
由此可知， 类概念数和人拥有不同的同一性标准， 所以数和人不可能属于同一个范畴。不同范畴中的对象之间不会拥有共同的同一性标准， 这依据以下原则：
（U） 一个对象只对应于一个范畴。
接受 （U） 是为了鉴别跨范畴对象间的关系。对于一个同一性陈述a=b （这里的a, b分别指示不同范畴的对象） , 由于没有可诉诸的同一性标准因而无法对上述陈述做出真假判断。为解决这类问题， 佩德森在重解框架中进一步给出了范畴类 （categorical sortal） 的定义：
（D3*a） 一个类X在S下的等价类是类X在该关系下构成的类。
（D3*b） 当且仅当对于任意的x, x是X, 只有当x落在X在S下的等价类的一个类中， 类X为一个范畴类。
（D3*a） 中S表示类概念间共享同一性的等价关系。 （D3*b） 表明， 只有当X与其自身在S下的等价类同延， X是一个范畴类。 （P3） 和 （D3*b） 确保了由S下等价类构成的范畴类的存在。 （D3*a） 和 （D3*b） 的结合可以阐明S下的等价类。
2. 佩德森的无范畴求解方案
在上述结果的基础上， 佩德森进一步强调对“范畴”以及“范畴类”的预设并不必要， 认为可以完全通过只接受类上的等价关系来求解凯撒难题， 最后实现算术向逻辑的化归。其无范畴的求解思路是采纳 （D1） , （D2） , （D3*a） , （P1） 和 （P2） , 舍弃 （D3*b） 和 （P3） .[8]509
“凯撒难题”求解的关键在于S是类概念间共享同一性的等价关系， 一旦这种关系得到确立， 类就根据该关系下的等价类得到划分。对于S下任意的两个等价类， 它们或者同一或者不相交。由于每个类具有的同一性标准是独有的， 因此不可能存在具有不同同一性标准的类处于S下的等价类中。黑尔-莱特的范畴求解模式中 （R2） 使得类概念数和人可以分属不同的同一性标准， 因此这些类就包含在不同的范畴中。佩德森认为消除对范畴的预设可以达到同样的效果， 于是给出以下相应结论：
（R2*） 如果类X和Y在S下的两个不同等价类中， 那么X和Y没有共同的对象。
在黑尔和莱特看来， 类概念数和人具有不同的同一性标准。关于某种关系是否能成为同一性， 这取决于依据该关系相关的同一性陈述是否能得到断定。而在跨范畴同一性的情况下， 没有也不可能存在这样的标准。在佩德森的无范畴框架下， 根据 （D3*a） , 数和人处于S关系下的不同等价类中， 而针对跨范畴同一性的问题可以借助 （U*） 得到说明。
（U*） 没有对象可以落入S下两个不同的等价类中。
可以把 （U*） 作为黑尔-莱特范畴求解模式重解中 （U） 的副本， （U*） 确保了抽象原则引入单称词的确定性， 由此凯撒难题得到解决。
四、无范畴求解的问题
佩德森的无范畴求解消除了对范畴的依赖， 在概念预设上更为节俭， 使新弗雷格主义的本体论结构更加清晰。但除了将范畴的划分转换为类上等价关系的划分之外， 无范畴求解方案同样无法给出凯撒与数是否同一的应用性标准， 因而与黑尔-莱特范畴方案面临相同的质疑， 其预期目标并未达成。
1.“等价类”对类的依赖性
针对黑尔-莱特范畴求解引发的质疑， 佩德森通过对范畴概念的刻画提出用“类上的等价关系”替代“范畴”, 以削弱新弗雷格主义本体论框架对范畴的依赖。需要指出， 对“范畴”的消解并不能消除对类概念的假定， 无范畴方案正是通过对任意落入类X的x进行限制致使落入X的任意x的同延都被X所包含从而保证等价类的存在。即使佩德森的方案实现了从范畴到类的转换， 类概念应用的合理性与对“范畴”的预设也一样令人质疑。无论求解凯撒难题的范畴策略还是无范畴策略， 都依赖于对范畴或等价类的划分， 从本质上讲就是对类的划分， 而如何对其划分才是求解凯撒问题的关键。
2. S标准的合法性
佩德森用基于类概念的等价关系替代“范畴”的作用， 必须配合其所坚持的S才能完全发挥“范畴”的功能。S用来表示类概念间共享同一性的等价关系， 不同的类通过S得到划分。只有在S下各种不同的类才能组成一个类似范畴的整体， 在这个等价类下， 假设同一性标准是独立的， 不同对象就分属不同的类。这里S起到了一个类似抽象原则的作用， 但抽象原则的合法性本身就存在很大争议。抽象原则作为一种语言学约定不能确保非语言的存在性， 即使借助抽象法可以成功引入新对象， 也不能因此认为抽象原则是合法的。如果通过抽象原则确实引入了数字单称词并由此推出了数学对象的存在， 也只是因为之前已经预设了数的存在， 这显然是一种循环论证。S也面临类似问题， 比如在佩德森的无范畴框架中， 跨范畴的同一性问题同样是不能讨论的， 我们能做的只是在将对象落入不同等价类之后依据对等价类的划分对跨等价类的同一性陈述做出真假判断， 从而合理地引入相关对象。但凯撒难题的求解真正需要的恰恰是给出何以一个对象不能落入两个不同等价类的说明。此外， 这里所能承认的断言是条件性的， 即如果数存在则休谟原则描述了其存在。除非新弗雷格主义者能够为数存在提供某种先在、独立的确证， 否则就不能证实休谟原则以及S的合法性。
3. 统一的同一性标准
从本质上讲， S标准是否合法取决于同一性标准是相对于某个范畴或某等价类所特有的， 还是存在一种统一的同一性标准为所有范畴或类共有。对于黑尔-莱特的范畴求解和佩德森的无范畴求解而言， 同一性标准必须是某范畴或等价类所独有的， 否则会出现凯撒与数落入同一范畴或等价类中导致二者同一的问题。为了规避这一问题， 佩德森承认统一同一性标准的必要性， 主张把莱布尼兹定律作为统一标准， 进一步定义子共享同一性标准 （Sub-sharing a criterion of identity） 的等价关系sub-S, 用它替换原来的S得到之前的所有相应结果。[9]149-153也就是说， 尽管存在一种统一的同一性标准， 包含所有类在内S下的相应等价类根据对S进行分层， 把对象归入不同的子范畴中将数与人隔绝开， 凯撒难题同样得解。如此一来， 他必须承认存在包含所有对象的范畴， 从而接受子范畴的存在。这无疑使他回到了黑尔-莱特新弗雷格主义的原点。
结语
事实上， 凯撒难题是一个涉及认识论、形而上学以及语义学等的问题， 仅从一方面对其求解必然是片面的。新弗雷格主义对语言分析的强调， 的确为我们提供了有益的方法论借鉴， 开拓了我们的研究视域。但从凯撒难题的求解也折射出分析哲学研究的局限性， 促使我们辩证地看待逻辑的作用。回到新弗雷格主义将算术化归为逻辑的根本立场， 我们也需谨慎对待。伴随当代数学各分支的纵深发展， 算术、分析、几何、代数等学科分支之间的融合与交叉愈发明显， 为整个数学构建合理的基础与统一的需求也愈发强烈。将数学化归为逻辑的可行性与必要性应交由数学实践来评判。当前以对象和函子为基本概念的范畴论作为一种数学基础的现实选择， 已升华为一种数学结构主义的重要进路。它无疑有助于解决或消解数学哲学中的传统难题， 对揭示数学的本体论、认识论以及语义学等问题， 具有广泛而重要的应用空间。但应明确的是， 数学中的范畴论与新弗雷格主义披着“范畴”外衣
参考文献
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[2]Mac Bride, FSpeaking with Shadows:A study of Neo-Logicism[J].British Society for the Philosophy of Science, 2003, 54 （1） :103-163.
[3]Hale, B.and Wright CTo Bury Caesar…in Hale and Wright[M].Oxford:Oxford University Press, 2001.
[4]Schirn, MFrege's Logicism and the Neo-Fregean Project[J].Axiomathes, 2014, （24） :207-243.
[5]Dummett, MFrege:Philosophy of Mathematics[M].London:Duckworth, 1991.
[6]Wright CFrege's Conception of Numbers as Objects[M].Aberdeen:Aberdeen University Press, 1983.
[7]刘靖贤。概况公理与新弗雷格主义[D].北京：北京大学， 2013.
[8]Pedersen, N.JConsiderations on Neo-Fregean Ontology in Proceedings of GAP.5[J].Bielefeld, 2003, （9） :504-511.
[9]Pedersen, NJSolving the Caesar Problem Without Categorical Sortals[J].Erkenn, 2009, 71:141-155.
[10]弗雷格。算术基础[M].王路， 译。北京：商务印书馆， 2001.
[11]Hale, B and C.Wright.The Reason's Proper Study[M].Oxford:Claredon Press, 2001.
注释
（1） （1） （SP1） 句法决定性 （Syntactic Decisiveness） :如果一个表达可以阐明对一个单称词的句法特征， 那么它也就决定了该表达具有一个单称词的语义功能。 （SP2） 指称最简性 （Referential Mininmalism） :如果一个指称表达出现在一个真的原子句中， 那么这一事实决定了世界上存在一个条目， 它与表明该表达的那个指称相对应。 （SP3） 语言优先性 （Linguistic Priority） :语言范畴优先于本体论的范畴；一个条目属于对象范畴， 只有当一个单称词指称它时才可能。参见参考文献[2].
（1） （1） S=表示类概念间共享同一性的等价关系。
（1） （1） 莱布尼兹定律：当且仅当任意两个对象共享所有性质， 它们是同一的。
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