教育论文：分析和探究小学数学教学中极限思想的渗透

引  言

 

本文论述了极限思想的历史发展，以及小学数学教师在极限教学中存在的误区，和在小写数学教学中渗透的必要性，并结合小学数学教材中数学公式、新知概念、练习复习等案例，阐述了极限思想带给我们的启示等。
 

一、极限思想及其历史简介

极限思想是在小学数学教材中极其重要的一种思想，贯穿着小学数学教材的始终，引导着学生用更加简便的方法去思考问题。极限思想的发展也有着悠久的历史，虽然不能和上下五千年的中华文化媲美，但是它的产生于发展也是不容小觑的。那么，所谓的极限思想就是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。因此极限思想的历史发展与极限概念的历史发展是分不开的。
 

（一）极限思想的产生

极限思想的产生追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在原始的极限思想上的。（2）而到了16世纪，荷兰的数学家斯泰文在考察三角形重心理论的过程中，无意中“指出了把极限方法发展成为一个使用概念的方向”。从这里就可以看出我国在原始极限思想的产生的方面占有很大的优势的。
 

（二）极限思想的发展

后来的极限思想是与微积分的建立紧密联系在一起的。由于16世纪的欧洲社会不断发展进步，生产力得到了极大的提高，人们发现在生产和生活中一些最基本的数学方法已经无法解决他们所遇到问题，这就要求数学不断突破传统范围，建立更加实用、更加便捷的数学方法，因此促进了极限思想的发展。但是一种思想的产生与发展总是在不断抨击和改善中进步的。其中英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他认为应该建立严格的微积分理论基础。
 

（三）极限思想的完善

经过很长一段时间，各国数学家们不断探索，罗宾斯与罗伊里埃等人先后都明确地表示了必须将极限作为微积分的基础概念。（5）到了19世纪，法国数学家柯西在前人研究理论的基础上，相对完整地阐述了极限概念及其理论。他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值得极限值，特别的，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”

极限的思想方法贯穿于小学数学教材的始终，学生灵活地运用极限思想，可以将某些复杂的数学问题化难为易，避免一些复杂的运算，是问题看上去更加简单。这样可以有效地提高学生的学习兴趣，增强学生的信心。 
 

二、当代小学数学老师对极限思想的误区

从极限思想的发展史可以看出，无论是哪一种的数学思想要想得到大家的肯定，都是前人们付出了千倍万倍的努力并且不断探究与改正，方可有如今这般完整的数学思想。但是，在当今小学数学教师中，有绝大多数教师对极限思想是存在误区的，如果不及时认识并改正这些误区，那么在教授学生时很可能会事倍功半。

 

（一）无限≠极限

实际上，无限与极限有着无比亲密的血缘关系。宇宙是在永恒运动中的，而微积分就是研究这运动的力学问题的，又由于无限与运动是密不可分的，显然，无限和极限也是相伴共生的。但是，无限与极限是绝对不可以化等号的。（4）无限是描述变量变化次数的，极限是描述变量在一定的变化过程中的终极状态。它们是不可以相提并论的。极限思想源于无限思想，是用无限逼近的方式来研究数量变化趋势的思想。

无限指的是，无穷多个。例如，小学数学四年级下册求0.5和0.6之间有多少个小数，答案是无数个。表示的是写不完也数不完，这样的小数是无穷无尽的。再例如，五年级上册在学习循环小数的内容时，1÷9=0.111111……商是一位循环小数，表示有无穷无尽个1。这些都是无限的思想。

极限指的是无限变化的量趋向于一个确定的常数。例如，人教版六年级上册学习圆的面积时，把圆无数次平均分割、拼接后，圆的面积无限接近长方形的面积，这样，长方形的面积就是圆无数次分割变化过程中无限接近的极限。
 

（二）极限思想主要在于“渗透”而不是“硬塞”

   很多教师由于教学经验不足，在教学工作中数学思想的渗透方法还有欠缺，更有些教师是“硬塞”给学生，这样做都是及其错误的。教师应该要认真分析和研究教材，理清教材的体系和脉络，掌控教材全局，建立各个知识点之间的联系，归纳和总结这些知识点之中蕴含的极限思想。

例如，在学习直线、射线时，可以让学生体会线的两端时无限延长的，体现极限的思想；在学习“自然数”“奇数”“偶数”等概念时，教师可以试着让学生体会自然数是数不完的，而奇数和偶数是有无限多个的……

虽然这些概念是比较抽象的，但是教师还是要认真地分析，有时候给学生错误地灌输思想，会成为孩子一辈子的阴影，作为教师一定要认真地思考好教学的内容，有很多学生不正是因为曾经受到错误的引导而在遇到真正的观念时无法接受？
 

三、极限思想在小学数学教学中渗透的必要性

也许很多人都不是很明白为什么要在小学教学中渗透极限思想，即使小学生不学习这种数学思想也可以很好的学好小学数学。其实并不是这样的，虽然说极限思想的学习对于小学生的数学成绩没有太大影响，但是小学数学是他们人生学习数学的一块垫脚石，如果可以在小学阶段就不断的渗透这种数学思想，那么等到他们到了初高中、大学甚至硕士、博士都是受益无穷的。因此，将数学思想和方法不断地渗透给学生，才是学生掌握知识的关键。
 

四、分析和探究小学数学教学中极限思想的渗透

（一）在学习新知的过程中渗透极限思想

1、例如，在学习“射线的初步认识”这一课时，许多老师都很重视让学生自主探究过程，十分重视对射线的概念的教学，但是同时忽略了一个重要的问题，就是对极限思想的渗透。在让学生“画线段、直线、射线”了解它们的特征的时候，就是渗透极限思想的最佳时机。

让学生在纸上画3条线段，学生们会很快地就画出来，并且会很流畅地说出来它们的特征：直的、有两个端点、可以用尺子量出来。但是当让学生在纸上画3条直线的时候，他们就会有不同的想法了。“画好了！”“不对，直线是没有长短的！”“直线在纸上画不完！”“直线两边是无限延长的!”这个时候就要引导学生理解“无限延长”的意义。教师用红外线光电筒照在黑板上，让学生画出来，学生可以流畅地画出。教师打开窗户，将红外线光电筒照射在天空，让学生画出来，这时学生就会发现这条线是画不完的。这样就可以完美地引入“射线”的特点：一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。

事实证明，这种探究方法是可以让学生理解的，那么这其中的核心就是极限思想的提案。如果让学生一下子就认识到图形的无限性是有难度的，但是在上述的教学过程中，让学生自己动手探究，主动建立起自己对于“线段”“直线”“射线”的感悟，这样在教师的引导下，既学习到了新知，也从中感悟到了极限思想的意义。

 

2、又例如，在学习“循环认识”过程中，很明显的这里也蕴含着极限思想。从知识角度来看，“循环小数”是对数的一次扩展，即从“有限”扩展到“无限”，让学生对数的认识又有一次重要的飞跃。显然，如何让学生理解“无限”是这堂课的重中之重。

学生初步感知“循环”概念，这个知识点比较抽象，学生容易提不起兴趣，因此老师们应该在课堂多运用多媒体，自主探究，师生互动等方式让学生主动学习新知。

在新课导入的部分可以采用故事引入，“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他对小和尚说……从前有座山……”这个故事是讲不完的，初步让学生感知无限的思想。